Sur les processus linéaires de naissance et de mort sous-critiques dans un environnement aléatoire

Nicolas Bacaër (1)

1 UMMISCO - Unité de modélisation mathématique et informatique des systèmes complexes [Bondy]

Man findet eine explizite Formel für die Sterberate der unterkritischen linearen Geburts- und Todesprozesse in einer zufälligen Umgebung. Diese Formel vergleicht man mit dem Eigenwert mit dem grössten realen Teil für die abstumpfte Matrix der Mastergleichung. Die erzeugende Funktion des Eigenvektors ist die Lösung eines Fuchsschen singularen Systems von Differentialgleichungen. Wenn die Umgebung zwischen zwei Zustände oszilliert, findet man eine Riemannsche Differentialgleichung.

An explicit formula is found for the rate of extinction of subcritical linear birth-and-death processes in a random environment. The formula is illustrated by numerical computations of the eigenvalue with largest real part of the truncated matrix for the master equation. The generating function of the corresponding eigenvector satisfies a Fuchsian system of singular differential equations. A particular attention is set on the case of two environments, which leads to Riemann’s differential equation.

On obtient une formule explicite pour le taux d'extinction des processus linéaires de naissance et de mort sous-critiques dans un environnement aléatoire. On illustre cette formule en calculant numériquement la valeur propre de plus grande partie réelle pour la matrice tronquée de l'équation maîtresse. La fonction génératrice du vecteur propre associé vérifie un système singulier d'équations différentielles du type de Fuchs. Une attention particulière est portée au cas de deux environnements, qui conduit à une équation différentielle de Riemann.

Domaines: Probabilités [math.PR]

Nicolas Bacaër. Sur les processus linéaires de naissance et de mort sous-critiques dans un environnement aléatoire. Journal of Mathematical Biology, 2017, 75 (1), pp.85-108. ⟨10.1007/s00285-016-1079-0⟩. ⟨hal-01414042v4⟩